Veel studenten die hogere wiskunde studeren in hun laatste jaren vroegen zich waarschijnlijk af: waar worden differentiaalvergelijkingen (DE) in de praktijk toegepast? In de regel wordt dit probleem niet besproken in colleges, en docenten gaan onmiddellijk verder met het oplossen van DE zonder de studenten uit te leggen hoe differentiaalvergelijkingen in het echte leven kunnen worden toegepast. We zullen proberen deze leemte op te vullen.
Laten we beginnen met het definiëren van een differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking is dus een vergelijking die de waarde van de afgeleide van een functie verbindt met de functie zelf, de waarden van de onafhankelijke variabele en enkele getallen (parameters).
Het meest voorkomende gebied waarop differentiaalvergelijkingen worden toegepast, is de wiskundige beschrijving van natuurlijke fenomenen. Ze worden ook gebruikt bij het oplossen van problemen waarbij het onmogelijk is om een directe relatie tot stand te brengen tussen sommige waarden die een proces beschrijven. Dergelijke problemen doen zich voor in de biologie, natuurkunde, economie.
In de biologie:
Het eerste zinvolle wiskundige model dat biologische gemeenschappen beschrijft, was het Lotka-Volterra-model. Het beschrijft een populatie van twee op elkaar inwerkende soorten. De eerste, roofdieren genoemd, sterft bij afwezigheid van de tweede uit volgens de wet x ′ = -ax (a> 0), en de tweede - prooi - vermenigvuldigt zich bij afwezigheid van roofdieren voor onbepaalde tijd in overeenstemming met de wet van Malthus. De interactie van deze twee typen wordt als volgt gemodelleerd. Slachtoffers sterven uit met een snelheid die gelijk is aan het aantal ontmoetingen van roofdieren en prooien, waarvan in dit model wordt aangenomen dat het evenredig is met de grootte van beide populaties, d.w.z. gelijk aan dxy (d> 0). Daarom is y ′ = door - dxy. Roofdieren planten zich voort met een snelheid die evenredig is aan het aantal gegeten prooien: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Stelsel van vergelijkingen
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = door - dxy, (2)
de roofdier-prooi die zo'n populatie beschrijft, wordt het Lotka-Volterra-systeem (of model) genoemd.
Bij natuurkunde:
De tweede wet van Newton kan worden geschreven in de vorm van een differentiaalvergelijking
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), waarbij m de massa van het lichaam is, x de coördinaat is, F (x, t) de kracht is die op het lichaam inwerkt met coördinaat x op tijdstip t. De oplossing is de baan van het lichaam onder invloed van de gespecificeerde kracht.
In economie:
Model van natuurlijke groei van output
We nemen aan dat sommige producten tegen een vaste prijs P worden verkocht. Laat Q (t) de hoeveelheid producten aangeven die op tijdstip t wordt verkocht; dan is op dit moment het inkomen gelijk aan PQ (t). Laat een deel van het opgegeven inkomen besteden aan investeringen in de productie van verkochte producten, d.w.z.
ik (t) = mPQ (t), (1)
waarbij m het investeringspercentage is - een constant getal, en 0
